ДЕМОГРАФИЧЕСКИЙ ПАРАДОКС
1.
Пусть
это множество всех мужчин, живущих в настоящее время на Земле. Численность этого множества (обозначим её через
известна с большой точностью, но для наших целей достаточно принять её равной
человек. Каждый из этих мужчин имеет (или имел в прошлом) ровно одного отца. Но если мы рассмотрим множество отцов всех ныне живущих мужчин
то численность этого множества
будет меньше, чем
поскольку в множестве
имеется какое-то количество родных или единокровных братьев, которые имеют общих отцов. Отношение
обозначим через q и будем называть его коэффициентом братства (чем больше братьев имеется в множестве
тем меньше коэффициент q). Если теперь рассмотреть множество дедов по мужской линии всех ныне живущих мужчин
то его численность
будет по той же причине ещё меньше, чем
Таким образом, уходя вглубь поколений, мы получим монотонно убывающую последовательноcть:
Её можно рассматривать как геометрическую прогрессию со знаменателем, равным q, и формула общего члена этой прогрессии будет иметь вид
Зная величину q и решив уравнение
относительно n, можно оценить, сколько поколений назад жил общий предок всех ныне живущих мужчин (Адам или, если угодно, Ной). Решение уравнения (1), очевидно, имеет вид:
Для оценки величины q я использовал выборку, основанную на моих заздравном и заупокойном помянниках (множество мужчин, в пределах которого я хорошо знаю, кто чей брат). Это множество состояло из 149 мужчин и коэффициент братства для него оказался равным 0,8859. Подставляя это значение, а также известное значение
в равенство (2), можно получить, что Адам (или Ной) жил примерно 183 поколения или (предполагая, что время смены поколений у вида Homo sapiens составляет около 30 лет) 5 500 лет назад.
Эта цифра хорошо согласуется с традиционной библейской хронологией, но коренным образом противоречит данным археологии, поскольку в исходное множество
входили и все ныне живущие индейцы, и все аборигены Австралии мужского пола, тогда как согласно данным археологии люди заселили Северную и Южную Америку не позднее 13 000 лет назад, а Австралию – около 50 000 лет назад.
Для меня самым удивительным во всей этой теме представляется не столько сам описанный факт, сколько то, что о нём никто никогда не говорит – даже креационисты, хотя он прямо «льёт воду на их мельницу».
2.
Объяснение этого парадокса может заключаться в признании того, что на некотором этапе истории вида Homo sapiens у него произошло изменение стратегии размножения.
В биологии различаются два вида стратегии размножения: R- и K-стратегия. При R-стратегии каждый организм порождает большое количество потомков, но никак о них не заботится; поэтому до следующего размножения доживают в среднем только двое; процент детской смертности очень высок, но вид сохраняется благодаря большому абсолютному числу детей в каждом поколении. Примером животных с R-стратегией могут служить лягушки: каждая лягушка женского пола за сезон вымётывает порядка тысячи икринок, после чего оставляет их «на произвол судьбы», так что до состояния взрослой лягушки, которая сама способна производить потомство, развиваются в среднем только две. При K-стратегии размножения каждый организм порождает сравнительно небольшое число детей, но проявляет интенсивную заботу о своих потомках, обеспечивая тем самым сравнительно низкую детскую смертность. Примером животных с K-стратегией могут служить слоны, у которых каждая слониха за всю жизнь рождает 3 – 4 слонят, но тщательно «пестует» их вплоть до достижения взрослого возраста, оберегает от всевозможных опасностей и тем самым обеспечивает сравнительно низкую детскую смертность. Понятно, что в «чистом виде» каждая из стратегий встречается в природе редко, но реальная стратегия каждого вида занимает какое-то промежуточное положение между двумя «полюсами» – R и K, тяготея к одному из них.
Можно предположить, что на начальных этапах своего существования вид H. sapiens обладал преимущественно R-стратегией и его численность росла очень медленно, т. е. оставалась фактически неизменной, за счёт очень высокой детской смертности. Каждый мужчина мог родить хоть десятерых сыновей, но до половой зрелости и следующего размножения из них доживал только один. Поэтому среди взрослых мужчин фактически не было родных братьев и коэффициент братства q был равен единице. Но затем произошёл переход к K-стратегии и именно этот переход обеспечил тот рост численности человечества, который мы наблюдаем в настоящее время (величина q скачкообразно упала от 1 до 0,8859). Таким образом, реконструкцию численности предков по мужской линии нельзя проводить до состояния
а можно лишь до уровня численности той популяции, которая существовала в момент смены стратегий.
Но против такого объяснения можно выдвинуть ряд возражений.
1) Смена стратегий размножения должна была произойти независимо и почти одновременно в Старом Свете, Америке и Австралии, что кажется малоправдоподобным.
2) Даже при постоянной численности популяции родные и единокровные братья в ней должны существовать за счёт случайных флуктуаций. Кажется совершенно невероятным, чтобы из потомства, скажем, нескольких тысяч отцов у каждого отца выжил ровно один сын. Скорее всего, найдутся всё-таки такие отцы, у которых выживет 2 сына за счёт того, что у других отцов не выживет ни одного. Поэтому братья неизбежно будут существовать в поколении сыновей. А поскольку мы оцениваем не общую, а эффективную численность популяции отцов (т. е. число тех мужчин, которые имеют потомков во всех последующих поколениях), то эта численность неизбежно будет ниже, чем численность мужчин в следующем поколении, и величина q всегда будет меньше единицы. Эффективная численность мужчин будет расти даже при условии, что общая численность популяции остаётся постоянной.
3) Смена стратегий размножения, очевидно, не могла произойти раньше того момента, когда численность эффективной популяции мужчин при движении вспять по оси времени достигает значения 1, т. е. 5 500 лет назад. А в свете того, что мы вообще знаем об истории человечества из археологических данных, забота о потомстве у людей возникла заведомо раньше этого времени.
3.
Более правдоподобное объяснение описанного парадокса заключается в предположении, что величина q действительно не оставалась постоянной на протяжении человеческой истории, но изменялась она не скачкообразно, как в модели смены стратегии размножения, а постепенно – за счёт постепенного же снижения детской смертности в результате развития медицины и общего увеличения комфортабельности и безопасности жизненных условий. Это постепенное снижение коэффициента братства в истории приводит к тому, что при движении вспять по оси времени численность человечества уменьшается не экспоненциально (как было бы при постоянном q), а более медленно и, соответственно, значение
достигается на большем временнóм расстоянии от современности.
Однако, если считать, что величина q при движении вспять по оси времени возрастает линейно по закону
где n – число поколений, а
то число поколений, при котором коэффициент братства достигает значения 1, то, как показывают расчёты, крутизна роста функции q(n) при уменьшении
возрастает быстрее, чем снижается крутизна убывания величины
В результате величины
и
[те значения n, при которых соответственно q(n) и
достигают значения 1] совпадают в точке n=372, что соответствует времени 11 160 лет назад и не согласуется ни с библейской, ни с «антропологической» хронологией человеческой истории.
Таким образом, при движении вспять по оси времени мы должны предполагать более крутое возрастание коэффициента братства, чем то, которое задаётся линейным уравнением (3). Расчёты показывают, что приемлемым законом роста для коэффициента братства при движении вспять по оси времени является экспоненциальный закон:
q(n)=1-0,1141exp(-0,005424n) (4)
(рис. 1).
Рис. 1. Увеличение коэффициента братства при движении вспять по оси времени по закону (4)
Численность эффективной популяции мужчин при этом убывает до значения 11 за 433 поколения (т. е. примерно за 13 000 лет) и до значения 2 за 791 поколение (23 730 лет). На уровне 1938 поколения (58 140 лет назад) она становится меньше, чем 1,5, на уровне 2722 поколения (81 660 лет) принимает значение 1,4991 и далее при движении вспять по оси времени сохраняет это значение неограниченно долго (т. к. величина q становится фактически неотличимой от единицы), в том числе и до уровня в 5333 поколений, т. е. 160 000 лет (рис. 2).
Рис. 2. Уменьшение численности эффективной популяции мужчин при движении вспять по оси времени
Всё это хорошо согласуется с данными археологии: появлением вида Homo sapiens примерно 160 000 лет назад, заселением Австралии 50 000 лет назад и заселением Америки 13 000 лет назад. Малые значения численности популяции (и, соответственно большие значения коэффициента братства) при большом числе поколений не должны нас смущать, т. к. речь идёт о численности не всей популяции особей мужского пола вида Homo sapiens, а лишь её эффективной части, т. е. о численности тех мужчин, потомки которых по мужской линии дожили до современности: численность всей популяции мужчин могла составлять тысячи человек, но из них до настоящего времени дожили потомки лишь одного или двух.
Библейские образы Адама и Ноя являются хорошими иллюстрациями этого факта. У Адама было много сыновей (Быт 5:3-4), но лишь потомки одного из них - Сифа - пережили Всемирный Потоп, чтобы дать начало современному человечеству. К моменту Потопа численность человечества была, вероятно, уже довольно значительной (Быт. 6:1), но от Адама до Ноя эффективная популяция мужчин в каждом поколении состояла из одного человека, будучи представленной линией Адам - Сиф - Енос - Каинан - Малелеил - Иаред - Енох - Мафусал - Ламех - Ной (Быт 5:3 - 29). Все остальные потомки Адама по мужской линии либо не дожили до Потопа, либо погибли в его водах и, таким образом, не являются предками никого из современных мужчин.